Bourbaki

**mormore** · 05-05-2010, 11:09

Chi e' Bourbaki?

Diciamolo subito,Nicolas Bourbaki non e' il nome di un singolo individuo,bensi' quello di un gruppo di matematici,quasi tutti francesi. Tuttora attivo,questo gruppo costituito nel 1935,composto di una dozzina di membri,non e' molto conosciuto dal grande pubblico. Tuttavia,ha cambiato il volto della matematica nei decenni dal 1950 al 1970. Non che Bourbaki abbia inventato tecniche rivoluzionarie o abbia dimostrato teoremi grandiosi : non era questo il suo obbiettivo. Cio' che e' ha apportato essenzialmente attraverso il suo imponente trattato Elements de mathèmatique ,e' una visione rinnovata delle matematiche,una profonda riorganizzazione e chiarificazione del loro contenuto,una terminologia e annotazioni ben pensate, uno stile particolare. Un gran numero di matematici ne e' stato sedotto, se e' vero che lo spirito di bourbakismo ha fatto scuola nella comunita' matematica internazionale. Bourbaki ha contribuito a dare splendore alla matematica francese.
Il nome Nicolas Bourbaki non e' legato solo agli Elements de mathèmatique. Deve molto,infatti, alla qualita' eccezionale di diversi suoi membri: Andrè Weil,figura centrale di Bourbaki fin dalla sua creazione, e' stato uno dei piu' grandi matematici del secolo; i suoi " complici" della prima ora,come Henri Cartan e Claude Chevalley, erano pure di statura internazionale.. Si aggiungeranno anche altri nomi prestigiosi, come Laurent Shwartz, Alexander Grothendieck,Jean -Pierre Serre eccetera.Tutti costoro hanno condotto ricerche personali, i cui risultati hanno trovato riscontro nei massimi riconoscimenti internazionali.
Alcuni di loro, come Chevalley,Shwartz, Grothendieck e Godement, hanno dedicato una parte della loro vita all'impegno filosofico o politico. E infine, l'idea sottesa ai loro lavori e' stata ripresa nella cosiddetta riforma delle "matematiche moderne" ; i bourbakisti hanno avuto di che dolersi di queste ricadute della loro opera e ,come Antigone, hanno dovuto constatare che i atti si staccavano da loro per condurre un'esistenza propria.
D'altronde Bourbaki si e' costruito piu' o meno coscientemente tutto un proprio folclore. Un folclore che comprende il segreto di cui il gruppo amava circondarsi,lo stesso nome del gruppo,il suo humour particolare,la sua goliardia,il suo modo di organizzazione e di lavoro. Il successo dell'impresa bourbachitica deve molto a questo folclore.
Bisogna comunque sfumare l'impiego del termine "successo": la missione di Bourbaki e' incompiuta, e sicuramente e' destinata a restarlo. L'evoluzione delle matematiche,infatti, l'ha resa utopica. Inoltre,Bourbaki e la sua scuola di pensiero hanno avuto alcuni aspetti spiacevoli che i detrattori non hanno mancato di rimarcare. E comunque,si pone la questione della sopravvivenza di questo matematico policefalo. Vi sono ombre e luci abbaglianti.
Mi auguro di essere riuscito,in questo scritto,a rendere bene l'idea delle une e delle altre.

Maurice Mashaal

da "Le Scienze" ( I grandi della scienza - marzo 2003)

continua

**mormore** · 06-05-2010, 07:13

Il 10 dicembre 1934 un pugno di giovani matematici si da' convegno in un cafe' del Quartiere Latino a Parigi ,col proposito di redigere un trattato di analisi...

cafe' grill-room A.Capoulade

Henry Cartan raccontava in questo modo a Marian Schmidt,nel 1982,l'origine di Bourbaki: " André Weil e io eravamo entrambi all'Universita' di Strasburgo,nel 1934. Discutevo con lui del corso di calcolo differenziale e integrale di cui ero incaricato. All'epoca, la licenza in matematica comprendeva tre diplomi di abilitazione: fisica generale,calcolo differenziale e integrale,meccanica razionale.In altre parole,non vi era che un solo diploma in matematica[...].
Occorreva dunque metterci dentro un sacco di cose. Mi interrogavo spesso sul modo di condurre questo insegnamento,dato che le opere disponibili non mi sembravano soddisfacenti, per esempio sulla teoria degli integrali multipli e la formula di Stokes. Ne discutei,quindi,a piu' riprese,con André Weil. Un bel giorno mi disse: "Ora basta; bisognera' sistemare questa situazione una volta per tutte. Occorre scrivere un buon trattato di analisi e,che non se ne parli piu'!"
André Weil conferma sostanzialmente questa versione nei suoi Souvenirs d'apprentissage pubblicate nel 1991:
" Un giorno di inverno,verso la fine del 1934,credetti di avere un'idea luminosa per mettere fine alle domande insistenti del mio collega [Henri Cartan]. "Siamo in cinque o sei amici",gli dissi piu' o meno,"e siamo incaricati degli stessi insegnamenti in universita' diverse.Riuniamoci,risistemiamo tutto una volta per tutte,dopodiche' saro' liberato dalle tue domande". Non sapevo che Bourbaki era nato in quel preciso istante".
Non si puo' garantire che la memoria umana resti perfettamente fedele ad avvenimenti accaduti una cinquantina di anni prima e piu', ma queste due citazioni rievocano bene l'atto di nascita di gruppo Bourbaki,per quanto questa conversazione del 1934 possa apparire anodina rispetto alle ragioni profonde che hanno condotto alla costituzione di Bourbaki e soprattutto rispetto a cio' che questo gruppo e' divenuto in seguito.

http://www.univ-nancy2.fr/poincare/documents/beaulieu93.pdf

cont.

**mormore** · 10-05-2010, 20:48

Un estratto da "Rudi matematici" del luglio 2009 dove si racconta del gruppo :

fonte

**mormore** · 10-05-2010, 21:42

Goliardici,sottili e austeri

E' difficile immaginare,alla lettura degli Elements de mathematique, che il suo autore sia un buontempone,dal riso e dallo scherzo facili.Epurato,serio,arido,severo,impersonale,austero: e' qusto lo stile del trattato di Bourbaki. A prima vista,la sola nota di fantasia e' la grande Z arrotondata ("tornante pericoloso") posta al margine ogniqualvolta una trappola attende il lettore.
Una lettura piu' attenta fa scoprire una terminologia matematica strana,oggi familiare ai matematici ma che,negli anno cinquanta,era del tutto nuova e poteva sembrare fantasiosa. Questa terminologia lascia intravedere di tanto in tanto un certo senso dell'umorismo, ma non lascia veramente indovinare che dietro Bourbaki si nascondesse un gruppo di matematici in carne e ossa che riuscivano a divertirsi pur lavorando duramente.Per rendersi conto di questo aspetto della vita sociale di Bourbaki,occorre lasciare il trattato e andare a sfogliare i numeri de "La Tribu", il bollettino interno del gruppo,di cui alcune copie sono talvolta filtrate all'esterno. E' in questa pubblicazione che il folclore di Bourbaki si manifesta in tutto il suo splendore.

Il peso delle parole,lo shock della "botte"

Filtro,ultrafiltro,applicazione suriettiva,iniettiva o biiettiva,spazio separato,spazio polacco,tonneau,induttivo,proiettivo,palla,pavimento eccetera : nella sua impresa di rinnovamento delle matematiche, Bourbaki ha introdotto una pletora di parole sia nuove sia tratte dal vocabolario corrente,ma alle quali veniva attribuito, nel contesto matematico, un significato particolare.
Una chiarificazione terminologica doveva inevitabilmente andare a pari passo con la chiarificazione che si proponevano i Bourbakisti,e si puo' ben capire come una chiarificazione della terminologia esigesse all'occorrenza la creazione di parole nuove.Per farlo occorrono eleganza ed efficacia,tendendo alla semplicita' per non cadere nel rischio di inventare un gergo faticoso e pedante.
Jean Dieudonné diceva nella sua conferenza rumena del 1968 che Bourbaki aveva abolito alcuni termini inadatti e ne aveva inventato molti altri, "utilizzando come tutti il greco quando necessario, ma anche una grande quantita' di parole della lingua corrente, la qual cosa ha fatto storcere il naso a molti tradizionalisti che ammettono difficilmente che si possa chiamare la palla o pavé qualcosa che altrimenti si sarebbe chiamato parallelotopo o ipersferoide[...].E' in questo stile che Bourbaki scrive, in una lingua che sia riconoscibile e in un gergo disseminato di abbreviazioni, come si vede spesso nei testi anglosassoni nei quali vi si parla di C.F.T.C. che e' legata a una A.L.V. a meno che non sia una B.S.F. o una Z.D. eccetera.In capo a dieci pagine non si sa piu' di cosa si stia parlando. Noi pensiamo che l'inchiostro non sia poi cosi' costoso da far si' che non si possano scrivere le cose per esteso, con un vocabolario scelto in modo appropriato."

continua

**Samarilla** · 11-05-2010, 11:37

che magnificenza!
non sapevo

**mormore** · 11-05-2010, 13:17

Anch'io praticamente sto leggendo il numero vecchio delle Scienze adesso .Non ho trovato molto in italiano in rete e cosi' qualche spezzone lo riscrivo qui.

"Piu' di trent'anni piu' tardi si rimane colpiti nel constatare quanto sia rimasta attuale la critica pronunciata da Dieudonné,critica critica che farebbero bene a meditare i creatori di gerghi imperversanti al giorno d'oggi. Il successo di Bourbaki in materia di terminologia non ne esce che esaltato;se all'epoca dell'opera bourbachitica fosse esistito un premio per la difesa della lingua francese, il gruppo avrebbe potuto aspirare incontestabilmente alla ricompensa. Per esempio,Christian Houzel fa notare come i termini "ricoprimento" e "rivestimento" si debbano a Bourbaki. Per queste due nozioni distinte,in inglese non esiste che una sola parola: covering
"Facciamo sforzi enormi per trovare le denominazioni adatte,perche' ogni nuovo termine abbia il proprio sostantivo,il proprio aggettivo eccettera", racconta MIchel Demazure che e' stato membro attivo di Bourbaki fino a 1985.I bourbakisti spingevano il purismo linguistico sino a bandire le ibridazioni di radici latine con radici greche,vietandosi l'uso di parole come,poniamo,"isoiezione" o "equimorfo"; "André Weil insisteva moltissimo su questo punto",rammenta Pierre Samuel.
Si riconosce abbastanza concordemente che gli sforzi terminologici di Bourbaki Hanno portato i loro frutti."
continua

**Raptor** · 11-05-2010, 13:49

Dei dieci conosco solo Weil.
La matematica e' un mondo estremamente affascinante, e sorprendentemente ricco di aneddoti.
Di recente ho ri-riletto L'ultimo teorema di Fermat (Simon Singh) e soprattutto L'ipotesi di Riemann (Marcus Du Sautoy), due libri fantastici.
Dei grandi matematici, quello che mi affascina piu' di tutti e' senza dubbio Srinivasa Ayiangar Ramanujan.

**mormore** · 11-05-2010, 13:57

Originariamente Scritto da Raptor

Dei dieci conosco solo Weil.
La matematica e' un mondo estremamente affascinante, e sorprendentemente ricco di aneddoti.
Di recente ho ri-riletto L'ultimo teorema di Fermat (Simon Singh) e soprattutto L'ipotesi di Riemann (Marcus Du Sautoy), due libri fantastici.
Dei grandi matematici, quello che mi affascina piu' di tutti e' senza dubbio Srinivasa Ayiangar Ramanujan.

Du Sautoy e' un grande divulgatore.
D'accordissimo su Ramanujan ,autodidatta affascinante.

http://areeweb.polito.it/didattica/p.../Ramanujan.htm

**Samarilla** · 11-05-2010, 14:18

sono adatti per una affascinata dall'argomento ma diguna?

**Raptor** · 11-05-2010, 14:26

Originariamente Scritto da Samarilla

sono adatti per una affascinata dall'argomento ma diguna?

Ti consiglio "Codici e segreti" e "l'ultimo teorema di Fermat" di Simon Singh. C'e' ovviamente matematica all'interno, ma e' un grandissimo divulgatore.
Oppure prenditi un libro qualsiasi di Martin Gardner.

**Samarilla** · 11-05-2010, 18:37

ordinato tutti quelli citati
grazie mille
se vi viene in mente altro da consigliarmi in merito
vi sarei riconoscente
grazie ancora

**mormore** · 14-05-2010, 08:43

Un vecchio articolo su Repubblica di P.Odifreddi

' 11 novembre 1968 un' oscura partecipazione annunciava la morte di Nicolas Bourbaki, avvenuta nel suo domicilio di Nancago, e invitava alle esequie che si sarebbero tenute qualche giorno dopo al Cimitero delle Funzioni Aleatorie (Metro Markov e Gadel). L' appuntamento per parenti e amici era alla Rotonda delle Risoluzioni Proiettive, di fronte al Bar dei Prodotti Diretti. Il Cardinal Aleph I avrebbe celebrato la messa nella Chiesa di Nostra Signora dei Problemi Universali, in presenza dei rappresentanti di tutte le classi di equivalenza e dei corpi costituiti. L' annuncio si concludeva con la citazione di un misterioso versetto: «Dio è la compattificazione di Alexandrov dell' universo» (Vangelo secondo Groethendieck , IV, 22). Se è facile intuire che dietro a queste parole si cela una goliardata, più difficile è capirne il senso e scoprirne l' autore. Per cominciare dal secondo problema, sembra che la penna fosse quella di Jacques Roubaud, oggi noto per essere l' esponente più in vista dell' Oulipo, il singolare gruppo di letterati-matematici e matematici-letterati che ha avuto tra i suoi membri Raymond Queneau, Georges Perec e Italo Calvino, e la cui poetica ha ispirato tre dei romanzi più memorabili del Novecento: I fiori blu, La vita istruzioni per l' uso e Se una notte d' inverno un viaggiatore. Quanto al primo problema, lasciando da parte alcune allusioni matematiche comprensibili soltanto dagli addetti ai lavori, Bourbaki era un ottocentesco generale di Napoleone III, che tentò il suicidio quando le sue truppe furono disarmate in Svizzera. Il suo nome era già stato usato nel 1900 da Octave Mirbeau, che nel Diario di una cameriera l' aveva affibbiato a un porcospino onnivoro. Ma esso divenne famoso quando fu adottato come pseudonimo da un gruppo di «giovani turchi» della matematica francese negli anni Trenta, la cui strana storia è raccontata da Maurice Mashaal in Bourbaki, una società segreta di matematici (Le Scienze, in edicola questo mese). Agli inizi i «soci fondatori» si proponevano soltanto di pubblicare in incognito un libro di testo di analisi matematica che sostituisse gli stantii manuali circolanti all' epoca, ma poco a poco il progetto originario si ingigantì, e sfociò nella composizione degli sterminati Elementi di matematica: un analogo moderno, cioè, dell' omonimo libro di Euclide che per due millenni aveva costituito il punto di riferimento obbligato di studenti e ricercatori. Tra il 1939 e (per ora) il 1998 furono pubblicati in fascicoli dieci volumi, per un totale di più di settemila pagine, che cambiarono il volto della matematica moderna. Basta infatti scorrere i titoli dei primi sei libri, che nelle intenzioni degli autori costituiscono i «prolegomeni a ogni matematica futura» (teoria degli insiemi, algebra, topologia generale, funzioni di una variabile reale, spazi vettoriali topologici, integrazione) per accorgersi che essi facevano piazza pulita delle tradizionali divisioni della matematica classica (aritmetica, geometria e analisi). L' opera di Bourbaki segna infatti uno spostamento di interesse dagli oggetti matematici, quali i numeri e i punti, alle strutture matematiche (determinate dalle operazioni di somma e prodotto, e dalle relazioni di ordine e di vicinanza) e alle loro trasformazioni. Si tratta, in altre parole, di un approccio «strutturalista», nel senso dato alla parola da Claude Levi-Strauss. E la relazione non è casuale ma causale, visto che non solo quest' ultimo conosceva uno dei padri fondatori di Bourbaki, il grande matematico André Weil, ma gli chiese addirittura aiuto per risolvere un problema combinatorio relativo alle regole di matrimonio di una tribù australiana. Weil trovò la soluzione, e nel 1949 il suo contributo apparve in appendice al famoso libro di Levi-Strauss sulle Strutture elementari della parentela, che diede inizio allo strutturalismo nelle scienze umane. Pochi anni dopo, nel 1952, a una conferenza su Strutture matematiche e strutture mentali, Jean Piaget incontrò Jean Dieudonné, un altro dei padri fondatori del gruppo, e fu folgorato dalla descrizione delle cosiddette «strutture madri» della matematica. Da quel momento i suoi studi furono guidati dalla balzana idea che lo sviluppo biologico delle nozioni aritmetiche e geometriche nel bambino rispecchiasse lo sviluppo logico delle stesse nozioni nel trattato di Bourbaki, secondo un processo che andava dal generale al particolare, e dall' astratto al concreto. Naturalmente, il miglior modo per confermare la teoria che i bambini imparavano le nozioni matematiche alla maniera bourbakista era di insegnargliele così in pratica. Gli anni Sessanta videro dunque una radicale riforma dell' insegnamento della matematica, dapprima nelle superiori e poi nelle inferiori, al grido di «Abbasso Euclide!» lanciato da Dieudonné. Il risultato fu che dopo qualche anno i bambini e gli adolescenti magari conoscevano alcuni rudimenti della matematica moderna, ma erano completamente ignoranti in aritmetica e geometria: in altre parole, non erano più in grado né di contare, né di visualizzare. Ma non era soltanto da un punto di vista didattico che il bourbakismo cominciava a far acqua. Anche nella comunità matematica si erano ormai levate critiche a un trattato che appariva a molti troppo generale e astratto nella sua forma, e troppo parziale nel suo contenuto: riflettendo le personalità individuali dei suoi componenti, il gruppo disdegnava infatti completamente i fondamenti logici da un lato, e la matematica applicata (dalla fisica all' informatica) dall' altro. Insuccessi e critiche a parte, a minare la sopravvivenza di Bourbaki c' erano poi le regole interne che esso stesso si era dato. Anzitutto, i suoi membri dovevano ritirarsi a 50 anni: perché, come disse Hardy in Apologia di un matematico, «la matematica è uno sport per giovani». In 65 anni di esistenza vi si avvicendarono dunque una quarantina di membri, tutti francesi (meno tre), e molti di altissimo valore: tra essi, addirittura cinque vincitori della medaglia Fields, che costituisce l' analogo del premio Nobel per la matematica. Neanche il modo di lavoro di Bourbaki prometteva niente di buono, a prima vista. Il gruppo si riuniva infatti regolarmente, tre volte all' anno, e se un capitolo di un libro veniva proposto e abbozzato, uno dei membri riceveva l' incarico di redigerne una prima versione. Quando questa era pronta, veniva letta e ferocemente criticata a un altro dei congressi. Poi un diverso membro doveva redigerne una seconda versione, e così via, fino a che non si fosse raggiunta la completa unanimità. Non stupisce che molti capitoli finissero per essere abbandonati: semmai, stupisce che qualcuno vedesse prima o poi la luce! Naturalmente, quando questo succedeva, l' opera era perfetta sotto ogni punto di vista. Ad esempio, Queneau racconta, nel capitolo Bourbaki e la matematica di domani di Segni, cifre e lettere (Einaudi, 1981), che quando credette di aver trovato un errore di stampa e segnalò che in un certo punto, invece di «insieme filtrante a destra e sinistra», c' era scritto «insieme flirtante a destra e sinistra», gli fu risposto che si trattava di una battuta e non di un refuso. Ma fu soprattutto lo stile del libro a impressionare, tanto da diventare un modello di esposizione anche letteraria: l' intero Mathématique (Seuil, 1997), terzo volume dell' autobiografia di Roubaud, è una meditazione sui legami tra Bourbaki e poesia, e contiene addirittura una dettagliata analisi stilistica di un brano del trattato (l' inizio del libro di topologia). Purtroppo per la teologia, Bourbaki non era interessato all' argomento: ad esempio, parlando in Ricordi di apprendistato (Einaudi, 1994) della conversione della sorella, la famosa Simone, Weil si limita a citare il detto spagnolo «el cristianismo es una locura», «il cristianesimo è una pazzia». Se l' interesse ci fosse stato, avrebbe però provocato un terremoto anche in quel campo, come lascia intuire il versetto apocrifo citato in apertura («Dio è il punto all' infinito dell' universo»). Anche senza la teologia, comunque, il nutrito elenco delle aree scientifiche e umanistiche influenzate da Bourbaki per mezzo secolo lo qualifica di diritto come uno dei fenomeni culturali più originali e influenti del Novecento. - PIERGIORGIO ODIFREDDI

link

**mormore** · 14-05-2010, 09:02

LE INNOVAZIONI MATEMATICHE
Lo specchio della storia

Nel dicembre 1934, alcuni giovani matematici si ritrovarono in un café di Parigi con l’idea di redigere un trattato moderno di analisi per la preparazione alla licenza in matematica. La loro motivazione principale era quella di creare un’opera che fosse in grado di rimediare ai difetti e alle insufficienze dei manuali esistenti, primo fra tutti quello di Edouard Goursat. Questi testi, però, non erano altro che lo specchio dei problemi che affliggevano le matematiche francesi a quell’epoca. In Francia, infatti, non si svilupparono le stesse ricerche d’avanguardia che invece presero piede in altri paesi; in Germania, per esempio, nacque la scuola algebrista tedesca. Le matematiche francesi vissero un’età dell’oro attorno al 1900, anni in cui le due figure che dominavano il panorama matematico europeo furono il francese Henri Poincaré (1854-1912) e il tedesco David Hilbert (1862-1943). Il primo si interessò molto dei temi riguardanti l’analisi classica, quali la teoria delle funzioni ellittiche o le equazioni differenziali, ma contribuì anche alla costruzione della topologia e, in particolare, della topologia algebrica, oltre ad aver svolto lavori di meccanica celeste e di relatività. Hilbert, invece, si dedicò all’assiomatizzazione nella geometria, agli spazi vettoriali, a problemi di fisica matematica, oltre che a lavori che avrebbero portato allo sviluppo della “teoria delle invarianti”. L’importanza e la preminenza di Poincaré e Hilbert possono essere in un qualche modo paragonate a quelle delle scuole matematiche francese e tedesca, che erano le due più in vista all’epoca. Oltre a Poincaré, molti furono i brillanti matematici attivi in Francia; fra loro è possibile ricordare Emile Picard, Emile Borel e Henri Lebesgue. I matematici francesi di quel periodo erano principalmente analisti e le loro ricerche si basavano quasi esclusivamente sulla teoria delle funzioni, con solo qualche piccola eccezione: Elie Cartan, padre di Henri Cartan, si interessava anche di teoria dei gruppi, di sistemi di equazioni differenziali e di geometria. In Francia la prima guerra mondiale e gli anni ad essa successivi segnarono, però, un declino molto violento sia in campo matematico sia in altre discipline scientifiche come la fisica, a differenza di ciò che avvenne in Germania. Circa metà degli allievi iscrittisi tra il 1911 e il 1914 all’ENS furono mandati a combattere e risultarono caduti in guerra e la perdita di queste giovani menti si fece risentire per molto tempo. La mancanza di questi giovani si riscontrava anche fra i banchi di scuola: non avere giovani professori ma insegnanti che hanno troppi anni in più degli allievi equivale anche ad avere insegnamenti ormai di un’epoca precedente, senza la possibilità di apprendere nuove e moderne teorie. Questa spiegazione legata alle perdite conseguite a causa dalla guerra, però, non può essere la sola da considerare, dato il fatto che anche la Germania aveva sicuramente subito ingenti danni. Il declino francese doveva essere stato causato anche da altri fattori, come la rigidità delle istituzioni scientifiche e pubbliche francesi e gli insufficienti finanziamenti del dopoguerra. Sia come sia, l’insegnamento che venne impartito agli allievi dell’ENS negli anni venti era ormai obsoleto, perché strutturato essenzialmente su quella che in seguito sarà definita dai bourbakisti la “teoria delle funzioni di papà”.
All’estero per imparare

Non trovando in Francia, dopo la prima guerra mondiale, molti matematici viventi, alcuni normalisti, fra cui anche André Weil, andarono a cercarli in altri paesi: in Italia, in Germania e negli Stati Uniti. Questi soggiorni, durante i quali era possibile incontrare matematici eminenti e confrontarsi con metodi diversi e più vivaci di studio, furono molto importanti e fecondi sia per André Weil che per altri futuri membri di Bourbaki che completarono all’estero la loro formazione. L’algebra moderna tedesca, per esempio, ebbe una forte influenza su Bourbaki; si dice anche che essa abbia in una certa misura “algebrizzato” le matematiche. Il testo redatto da van der Waerden, un matematico olandese allievo di Emmy Noether e di Emil Artin, due eminenti algebristi tedeschi, intitolato Moderne Algebra e uscito tra il 1930 e il 1931, fu un valido e fondamentale spunto di riflessione e fonte di ispirazione per i bourbakisti e per la creazione del loro trattato. Essi restarono estremamente colpiti dalla modernità dei temi in esso inseriti, dal suo stile conciso e rigoroso, dalla sua struttura chiara e dal linguaggio preciso, particolarità che mettevano in luce i concetti generali, come quelli di gruppo, anello e corpo. Queste erano le caratteristiche che differenziavano questo testo dai manuali francesi in uso, in cui i temi classici venivano esposti in modo “troppo” dettagliato, facendoli risultare talmente prolissi da non riuscire nemmeno ad estrapolarne le idee principali. Inoltre, in essi venivano sempre ripresi gli stessi teoremi, ogni volta, però, con l’aggiunta di ipotesi supplementari: questo faceva perdere di rigore l’opera. Cosa più importante: non venivano assolutamente presi in considerazione gli sviluppi più recenti dell’analisi, come la teoria dell’integrazione di Lebesgue del 1902 che non era neppure menzionata.
L’opera “Eléments de mathématique”

L’impresa che Bourbaki si proponeva di realizzare era quindi quella di creare una presentazione più nitida degli argomenti, di rafforzare il rigore e di includere nel trattato anche gli sviluppi più recenti che prima erano del tutto assenti, così da poter proporre la matematica in modo sistematico e coerente. Bourbaki aveva in mente un rinnovamento totale delle matematiche francesi, forse senza neppure rendersene troppo conto; la sua “semplice missione” di scrivere “solo” un nuovo trattato di analisi, infatti, si trasformò presto in un mutamento generale della materia. Tutto questo si tradusse nella composizione di un lungo trattato, monumentale, di oltre 7000 pagine: gli “Eléments de mathématique”. Quest’opera, da molti ammirata ma anche screditata da altri, ebbe successo e fece epoca. Le prime riunioni che Bourbaki organizzò al fine di creare questo testo, consistevano in discussioni, dibattiti e riflessioni che permisero di fissare il sommario per il nuovo trattato di analisi. Inizialmente gli argomenti che si volevano proporre ed affrontare erano: le funzioni analitiche, le serie di Fourier, le equazioni differenziali, l’integrazione… che erano tutti già presenti nei manuali esistenti. Questi andavano però modernizzati. Le nozioni generali che inoltre si pensava di inserire, perché utili per affrontare i temi scelti, erano alcuni concetti essenziali di teoria degli insiemi, di topologia e di algebra moderna, che vennero indicati come il “pacchetto astratto”. Questo pacchetto doveva però limitarsi allo stretto indispensabile, ai soli concetti e strumenti di base, senza dilungarsi in teorie astratte solo per il loro piacere ed interesse. Tuttavia, i nuovi temi che si pensava di dover analizzare si aggiungevano sempre in maggior numero e l’ampiezza del pacchetto su cui si focalizzavano le prime redazioni andava via via allungandosi notevolmente. Il progetto iniziale di Bourbaki cresceva così a dismisura: più vasto negli intenti e più voluminoso nella mole. Nel 1941, il progetto globale comprendeva già quattro parti, divise in libri, ognuno dei quali ripartito in capitoli. Le quattro parti erano denominate:

* Strutture fondamentali dell’analisi, composto da 8 libri;
* Analisi funzionale, suddiviso in 7 libri;
* Topologia differenziale, 2 libri;
* Analisi algebrica, altri 8 libri.

Abbastanza presto, però, questa suddivisione in parti è stata abbandonata vista l’ampiezza della sola prima parte, che avrebbe ritardato di molto la stesura delle altre tre. Il trattato, quindi, non avrebbe visto la luce che solo parzialmente. Ai nostri giorni, 70 anni dopo la “nascita” di Bourbaki, i libri di cui è composto Eléments de mathématique sono 10, ognuno presentato generalmente in diversi tomi (in tutto consta di 67 tomi). Essi sono:

* Teoria degli insiemi: 1 fascicolo di risultati senza dimostrazioni e 4 altri capitoli;
* Algebra: 10 capitoli;
* Topologia generale: 10 capitoli;
* Funzioni di una variabile reale': 7 capitoli;
* Spazi vettoriali topologici: 5 capitoli;
* Integrazione: 9 capitoli;
* Algebra commutativa: 10 capitoli;
* Varietà differenziali e analitiche: 1 fascicolo di risultati senza dimostrazioni;
* Gruppi e algebre di Lie: 9 capitoli;
* Teorie spettrali: 2 capitoli.

I primi sei libri avrebbero dovuto costituire la prima parte. Il primo volume, il fascicolo di risultati relativi alla teoria degli insiemi, uscì già nel 1939, i sei successivi furono pubblicati entro il 1958, l’ultimo solo nel 1998. L’ampiezza e la grandiosità dell’opera dipendono molto dalla scelta di trattare le matematiche dai loro inizi e fornire dimostrazioni complete, proprio come indicato anche da Bourbaki all’inizio di ogni volume degli Eléments de mathématique, nelle prime tre pagine denominate “Avvertenze per l’uso”.
Le principali caratteristiche del trattato

Secondo Bourbaki, partire dalle basi della matematica e presentare tutti i risultati dimostrati, equivaleva ad insegnare questa materia “dalla A alla Z”, in modo sistematico e senza lacune, così che ognuno avrebbe potuto apprendere i vari concetti senza bisogno di particolari conoscenze preliminari, essendo solamente abituati a ragionare in modo matematico ed astratto. In realtà, queste doti non sono assolutamente sufficienti: per poter comprendere appieno le diverse pagine del trattato è necessario almeno aver già assimilato precedentemente i concetti che si incontrano nel primo biennio dell’università di matematica. L’opera di Bourbaki è quindi, in realtà, rivolta a matematici già esperti, dotati e motivati; essa non può essere intesa come un lavoro rivolto “al grande pubblico”: è una sintesi, una rivisitazione e una riformulazione di conoscenze già esistenti, espresse in un “nuovo linguaggio”. Non è un’opera di ricerca. Un’altra peculiarità del trattato si trova già nel titolo: il termine mathématique, usato al singolare, evidenzia la convinzione di Bourbaki della singolarità delle matematiche, di come questa scienza sia una, unita in tutte le sue parti, non più da intendere, come in precedenza, nelle matematiche al plurale, come se ne esistessero tante, tutte diverse fra loro. Una importante caratteristica è poi il modo assiomatico di esposizione, proprio di Bourbaki, partendo dal generale per arrivare al particolare, senza soffermarsi su troppi esempi che vengono invece riportati successivamente. Tranne pochi esempi concreti riportati all’inizio per illustrare il bisogno di successivi sviluppi, ogni argomento viene infatti presentato attraverso assiomi e definizioni. Tutti i risultati che seguono risultano essere dedotti in modo coerente da tali assiomi: in primo luogo introducendo il caso generale e solo poi mostrando gli eventuali casi particolari; di questi, inoltre, sono presentati generalmente solo quelli più semplici da comprendere per il lettore). Al termine dei capitoli, a volte, sono riportate poi anche alcune note, che focalizzano l’inquadramento storico dei vari concetti. In un secondo tempo, queste note sono state anche riportate in un unico volume intitolato “Eléments d’historie des mathématiques”, nel quale si riscontra l’interesse del gruppo anche per la storia di questa scienza. Il plurale di mathématiques, utilizzato in questa ultima denominazione, ribadisce ancora il concetto di come prima di Bourbaki fossero esistite “tante” matematiche, ma da lui in poi ne sarebbe rimasta una sola. La terminologia usata nel testo degli Eléments de mathématique è da considerarsi anch’essa una qualità molto apprezzabile. Il rinnovamento rispetto a quella utilizzata fino ad allora era centrato sull’utilizzo di un linguaggio rigoroso ma il più possibile semplice e sulla ricerca di nuove parole, nuovi simboli e notazioni. Il simbolo Ø, per esempio, che indica un “insieme vuoto”, fu introdotto da Weil nel 1937, prendendo spunto dall’alfabeto norvegese. Le notazioni usate per classificare gli insiemi numerici, tra cui Z per i numeri interi, R per i numeri reali …, sono diventate ormai universali. Anche la Z indicante un “tornante pericoloso” (un possibile rischio di errore per il lettore) è uno dei simboli inseriti per la prima volta in matematica dal gruppo. Questi sono solo alcuni dei simboli che, grazie a Bourbaki, sono stati adottati sia in Francia che all’estero. Non tutti, ovviamente, hanno avuto lo stesso successo, come è capitato per le diverse notazioni. Molti però sono quelli che, da Bourbaki in poi, hanno iniziato ad avere un particolare significato matematico; tra questi si ricordano anche i simboli di inclusione, di unione e intersezione, di appartenenza ad un insieme, di uguaglianza e disuguaglianza, di funzione, di prodotto cartesiano,…, per citarne solo pochi altri.
I riscontri ottenuti dall’opera

Durante il corso degli anni, sulle riviste specifiche di matematica, quale Mathematical Reviews, sono state pubblicate numerose recensioni ai diversi volumi degli Eléments de mathématique; questo evidenzia il grande successo ottenuto dal trattato di Bourbaki. Nella maggior parte dei casi, in queste recensioni venivano tessute lodi di gradimento, pur non mancando, a volte, critiche di non apprezzamento riguardo ad alcuni punti tecnici. Anche Artin, nella sua recensione del Libro di Algebra del 1953, espose il proprio giudizio positivo sottolineando “il completo successo dell’opera”, sia per la sua capacità di presentare i concetti in modo generale ed astratto, sia proprio per il nuovo linguaggio forgiato appositamente per la necessità di rinnovamento. Secondo altri meno entusiasti, invece, la presentazione degli argomenti è troppo “austera”; a parere di questi ultimi, l’opera, oltre a presentare troppe definizioni, alcune delle quali anche prive di motivazione, conterrebbe molti esercizi, la maggior parte dei quali risolvibili solo con molta fatica.
I cardini della filosofia di Bourbaki

La “filosofia” di Bourbaki, da alcuni molto apprezzata e criticata da altri, si può considerare articolata attorno a tre caratteristiche cardine: l’unità delle matematiche, il metodo assiomatico e le strutture. L’essenza del passaggio ad una sola matematica, secondo Bourbaki, implica già in sè l’introduzione di un metodo assiomatico, necessario alla sistematizzazione della disciplina. Il primo esempio di assiomatica che possiamo ricordare è quello della geometria di Euclide (in termini di tempo è infatti l’esempio più antico fra quelli conosciuti a riguardo ). Nei suoi Elementi, infatti, vengono per prima cosa presentati gli oggetti fondamentali che verranno citati ed utilizzati, come il punto, la retta o il piano… e, in un secondo momento, sono enunciati i suoi cinque famosi assiomi che serviranno per dimostrare costruzioni e proprietà geometriche. Euclide, però, non può essere di fatto considerato un precursore del procedimento assiomatico, a causa della mancanza di una totale coerenza nella “sua” geometria. David Hilbert, circa un secolo fa, ovviò a questa mancanza e risistemò l’ordine dell’assiomatica degli Elementi; egli, inoltre, nei suoi Grundlagen der Geometrie (Fondamenti della Geometria) scritti nel 1899, utilizzò un carattere maggiormente formale, senza bisogno di definire le nozioni primarie di punto, retta o piano… che, poiché considerate come entità astratte, non prevedono la necessità di precisarne il significato concreto. Ciò che invece è fondamentale definire sono le relazioni tra queste entità primarie, relazioni che caratterizzano gli assiomi, che possono poi essere applicati non solo ad un particolare oggetto specifico, ma anche a tutti quelli che godono delle sue stesse proprietà. Secondo Bourbaki, il metodo assiomatico non può poi essere dissociato dal terzo concetto chiave della sua visione delle matematiche: quello di struttura. Nell’articolo L’architecture des mathématiques pubblicato nel 1947 e firmato da Bourbaki “in persona” si legge come per definire una struttura sia necessario, preso un insieme qualunque di elementi, considerare alcune relazioni nelle quali questi elementi devono intervenire; per postulato, tali relazioni devono soddisfare alcune condizione, che sono da enumerare, e che diventano gli assiomi della struttura così definita. La teoria assiomatica alla base di tale struttura risulta così costituita dalle conseguenze logiche derivanti dagli assiomi che costituiscono la struttura stessa, mentre altre possibili ipotesi di natura diversa, sugli elementi analizzati, sono da escludere. Uno fra gli esempi che possiamo ricordare parlando di strutture è quello di “gruppo”. Questa struttura astratta, possiede anche molte realizzazioni concrete, sia fra gli insiemi dei numeri che nell’insieme degli spostamenti del piano euclideo, per richiamare semplicemente due fra gli esempi riportati anche ne L’architecture des mathématiques. Le strutture pensate da Bourbaki possono essere suddivise in tre tipi. Il primo è quello delle strutture algebriche, che comprendono, oltre ai gruppi, gli anelli, gli ideali, i corpi, gli spazi vettoriali, … Il secondo è composto dalle strutture che sono costruite a partire da una relazione d’ordine. Il terzo è quello delle strutture topologiche, che forniscono una “formulazione matematica astratta” delle nozioni di intorno, limite e continuità. L’unità delle matematiche, il metodo assiomatico e le strutture non sono però innovazioni nate spontaneamente per la prima volta dal genio di Bourbaki. La prima è una questione che ci si è più o meno sempre posti, anche prima del 1934, in particolare quando si cercava di comprendere le relazioni esistenti tra algebra e geometria. Il procedimento assiomatico, che come visto si può pensare essere stato avviato da Euclide, era già stato utilizzato oltre che da Hilbert, anche da Peano e da Dedekind. Per il concetto di struttura Bourbaki fu influenzato invece da van der Waerden e dalle idee contenute in Moderne Algebra.
Le novità di Bourbaki

Alcune innovazioni che si possono riscontrare nell’opera di Bourbaki sono da considerare come introduzioni nuove ed originali dovute totalmente al gruppo; oltre al linguaggio e ai simboli, egli ha creato anche nuovi concetti matematici, come quello di “filtro”. In particolare, i filtri furono inventati da Henri Cartan nel 1937, durante un congresso Bourbaki in cui si discuteva principalmente di topologia. Nonostante la difficoltà e l’astrattezza, queste definizioni hanno una importante utilità permettendo di proporre una nozione di limite più vasta, che porta ad applicazioni su insiemi arbitrari. Aumenta, quindi, la generalità della definizione che implica la possibilità di enunciare teoremi formulati in termini di limiti usuali imponendo condizioni meno restrittive. Nello specifico, per esempio in topologia, i filtri permettono di estendere alcune proprietà valide per gli spazi metrici, a spazi topologici non metrizzabili. Anche in altri campi, comunque, i filtri hanno trovato una certa applicazione; in particolare essi sono stati utilizzati nel dominio della logica matematica.
MA DOV’E’ OGGI BOURBAKI?
Cosa è “rimasto” di lui?

Ai giorni nostri, la prima cosa concreta che rimane del gruppo Bourbaki è il suo monumentale trattato di circa 7000 pagine, del quale, fra il 1940 e il 1970 circa, furono pubblicati numerosi volumi; l’ultimo volume dell’opera apparve invece nel 1998, ben 15 anni dopo il precedente. Uno dei membri di Bourbaki fino a pochi anni fa, Arnaud Beauville, affermò abbastanza recentemente che il gruppo sarebbe stato presto pronto per l’uscita di testi innovativi; nonostante questa rivelazione, però, numerosi risultano essere gli scettici a tale notizia e si credono convinti che difficilmente Bourbaki sia davvero ancora in grado di proporre qualche cosa di nuovo e interessante. Oggi, più di allora, si ritiene che non solo la volontà, ma il pensiero stesso, di unificare e di trattare in modo unitario ogni campo in cui la matematica può essere suddivisa, sia solo un’idea utopica. Questa nuova credenza deriva principalmente dal fatto che il numero di ricercatori, come quello delle loro pubblicazioni, sia talmente aumentato da non rendere più possibile una tale impresa. Inoltre, è necessario tenere anche presente come all’aumentare degli impegni personali di ciascuno corrisponde una diminuzione del tempo che viene messo a disposizione per attività collettive: ai giorni nostri, infatti, si preferisce sicuramente dedicare tempo e fatiche alla propria carriera personale piuttosto che alla stesura di un trattato comune. Questo però non implica assolutamente che nessuno non sia più disposto a farlo, anche se tali persone rappresenterebbero solo una piccola percentuale fra tutte le grandi menti che oggi si possono contare. È necessario poi ricordare anche un altro aspetto che ha favorito la decadenza del gruppo: la scelta di non voler approfondire temi legati per esempio alla teoria delle probabilità o dei giochi, argomenti che furono ritenuti dai bourbakisti non degni di interesse. Ai giorni nostri, non considerare le matematiche applicate è una scelta che non ci possiamo permettere: esse hanno ormai applicazioni così elevate ed estese in campi più svariati, dalla tecnologia all’informatica, da non poter essere assolutamente tralasciate. Nonostante però i lavori di Bourbaki tardino a vedere la luce, quello che oggi sicuramente rimane ancora e si svolge regolarmente, come dal 1948, sono i seminari Bourbaki; questi incontri, che avvengono tre volte l’anno, generalmente in febbraio, giugno e novembre, sono tenuti presso l’istituto Henri Poincaré. Anche qui però qualcosa è leggermente cambiato: se di norma, fino al 1987, durante il seminario venivano esposte 6 relazioni; oggi, sempre per problemi di tempo e di impegni personali, ne vengono trattate solamente 5. Tutte le circa 900 relazioni, tenutesi dal dicembre 1948, sono state riportate per iscritto e costituiscono non solo una seconda opera monumentale, comprendente più di 10000 pagine, ma, purtroppo, anche la sola attività ancora attuale e visibile del gruppo. Inoltre, ai nostri tempi, queste relazioni sembrano essersi trasformate solamente in un ciclo di conferenze piuttosto classiche su temi di attualità, come ormai ne esistono tante altre.
L’introduzione delle “matematiche moderne” nella riforma dei programmi scolasticia

Negli anni ’60 -‘70, uno dei cambiamenti legati allo sviluppo delle “matematiche moderne” e ispirato dalle innovazioni di Bourbaki è riscontrabile anche nell’insegnamento liceale della matematica. Il nome di Bourbaki, le sue strutture e le sue idee, furono spesso associate all’ambiziosa riforma dell’insegnamento delle matematiche nella scuola, avvenuta intorno agli anni ’60, nonostante il totale disinteresse di Bourbaki per gli insegnamenti a così “basso livello”. A livello superiore quindi Bourbaki, anche se inconsciamente e involontariamente, ebbe sicuramente un ruolo attivo. Riuscire però a quantificare il ruolo che Bourbaki svolse nella riforma delle “matematiche moderne”, cioè nei cambiamenti apportati nell’insegnamento secondario, non è così semplice. Già negli anni ‘50, le matematiche che venivano insegnate a scuola risultavano arretrate, inadatte a supportare le innovazioni economiche, tecniche, industriali, scientifiche e culturali. Questo avveniva in Francia, ma anche in molti altri paesi del mondo occidentale. Era necessario, ai fini dello sviluppo, riuscire a formare buoni scienziati e ingegneri, che possedessero anche valide conoscenze di matematica. La ragione di fondo della richiesta di competenze matematiche risiede nella convinzione di quel periodo che le matematiche “si trovano ovunque”, sono quindi essenziali per la formazione e la cultura generale di tutti. I programmi scolastici furono così sostituiti e rinnovati già dagli anni ‘60. Le tappe principali su cui si possono porre le basi della storia della riforma delle matematiche sono 4. La prima fase è costituita da una seria presa di coscienza e da una profonda riflessione: si cercava di promuovere una riforma di contenuto e di metodo per l’insegnamento delle matematiche nelle scuole secondarie. La seconda, avvenuta circa fra il 1964 e il 1967, si può considerare come una fase “preparatoria”, durante la quale si sono creati gruppi di lavoro. La terza è quella in cui si realizzarono esperienze pedagogiche e la promulgazione di nuovi programmi. La quarta, all’inizio degli anni ’70, è consistita nella progressiva generalizzazione dei nuovi insegnamenti. I nuovi programmi, così rinnovati, comprendevano elementi di logica e teoria degli insiemi, prevedevano lo studio, in modo assiomatico, delle diverse strutture algebriche e l’introduzione dei numeri complessi, e contenevano anche rudimenti della teoria delle probabilità: tutti questi sono argomenti che prima della riforma non venivano assolutamente trattati e considerati. Doveva cambiare, però, anche il metodo di insegnamento: si suggeriva un maggior rigore nell’esposizione dei teoremi, degli enunciati, delle definizioni e delle dimostrazioni, e si insisteva molto sulla precisione della scrittura matematica. I calcoli venivano invece messi in secondo piano. Le critiche nacquero anche riguardo a queste innovazioni: vennero in particolare polemizzati l’”abbandono” dell’algebrizzazione della geometria e le eccessive formalizzazione e astrazione dei concetti. Queste polemiche hanno causato un generale discontento nei confronti dei cambiamenti richiesti dalle “matematiche moderne”; la riforma fu complessivamente considerata un fallimento. Sembra, inoltre, che anche il gruppo abbia dimostrato diffidenza nei confronti di questa riforma; alcuni componenti, poi, furono anche totalmente contrari; in ogni caso, l’influenza di Bourbaki, anche se indiretta, è però sicuramente riscontrabile. Al termine degli anni ’70, il fallimento della riforma ha provocato una sorta di controriforma: dalla matematica pura si è passati a quella applicata; si è fatto un passo indietro, tornando a programmi che prevedevano una limitazione del formalismo in eccesso, un “ritorno” della geometria tradizionale e un ripensamento sull’importanza dei calcoli. I programmi così nuovamente modificati sono quelli tuttora insegnati, e, ovviamente, contestati: non sono totalmente coerenti, non sono creati con totale cura ed attenzione, manca un legame completo fra tutti gli argomenti che sembrano trattare “un po’ di tutto” ma poco nella sua completezza, mancano importanti concetti come, per esempio, quelli di spazio vettoriale.

http://it.wikipedia.org/wiki/Utente:Maljma/Bourbaki