In questi giorni di preghiera e meditazione (causa assenza del PC) ho finito di rileggermi "L'ultimo teorema di Fermat" di Simon Singh, una fonte inesauribile di curiosità matematiche.
E m'è rimasta la curiosità di sapere come Fermat abbia potuto dimostrare (così almeno dice) il suo famoso teorema (che x^n+y^n=z^n non ammette soluzioni per x,y,z interi e per qualsiasi n maggiore di 2) con le tecniche matematiche del '600, quando Andrew Wiles ha dovuto usare le teorie più recenti, sconosciute a quell'epoca.
Credo che sarà un vero genio chi riuscirà a ridimostrare Fermat usando le tecniche di allora.

E ci sono tante altre congetture che aspettano una dimostrazione, o una confutazione.
Un secolo dopo Fermat, Eulero (dopo avere dimostrato la congettura di Fermat per n=3) escogitò un'altra congettura simile: che l'equazione x^4+y^4+z^4=w^4 non ammette soluzioni per x,y,z,w interi.
Nessuno potè confutarla dando un esempio contrario, o dimostrarne la validità, finché nel 1988 un tale di Harvard, usando la forza bruta del computer, potè trovare una combinazione che la confutava definitivamente:
2.682.440^4+15.365.639^4+18.796.760^4=20.615.673^4 (un numero con 29 cifre)
Il che mostra che dimostrare un teorema è cosa ben diversa che verificarlo con il maggior numero possibile di numeri, perchè non si saprà mai se esiste oltre a quelli un numero che la confuta definitivamente.
Questa è la differenza fra un teorema matematico e una legge fisica. Il primo, una volta dimostrato, lo è per sempre, per tutti i tempi e gli universi. Una legge fisica è solo un modello, che riproduce al meglio certi fenomeni fisici ma che si sa già che prima o poi verrà sostituita da una legge migliore.

Demonstrationem Mirabilem

"Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."

In realtà è assodato che Fermat riuscì a dimostrare il suo teorema per n=4, utilizzando un originale metodo che mescolava ragionamenti ricorsivi sui numeri naturali e dimostrazioni per assurdo; poiché allora i matematici erano anche un po' poeti, battezzò questo metodo con l'immaginifico nome di "La Descente Infinie" , l'Infinita Discesa (qui, anche se in francese, è possibile trovare questa dimostrazione di Fermat:
http://folium.eu.org/histoire/th_fermat/fermat.html).
Chi è in grado di comprenderla, qualora la trovasse anche "meravigliosa", è autorizzato a pensare che Fermat si riferisse a questa dimostrazione che - seppur breve - gli avrebbe comunque preso ben più del margine dei Commentaria in Diophantum, su cui prese la famosa nota, poi riportata a stampa nelle edizioni successive dell'Arithmetica di Diofanto, come quella in figura.
In alternativa, si potrebbe pensare che - una volta stesa la "meravigliosa" dimostrazione - si sia accorto di qualche evidente fallo e quindi abbia evitato di lasciarcela.
Un matematico italiano (qualificato, ma "dilettante"), Andrea Ossicini, ha invece già fatto qualche anno fa quello che il Gatto ha prefigurato: "ridimostrare Fermat usando le tecniche di allora"; in particolare usando un metodo basato sulla riduzione ad una equazione diofantea (già direi che almeno è "meraviglioso" il fatto che ci si basa su Diofanto invece che su Shimura e Taniyama...) dell’equazione di Fermat.
Questa è l'introduzione del lavoro di Ossicini (“L’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT : UNA DIMOSTRAZIONE EULERIANA”):
"Scopo del seguente lavoro è fornire una dimostrazione del cosiddetto “Ultimo Teorema di Fermat” utilizzando delle tecniche “elementari”, cioè riferite al periodo storico in cui visse P. Fermat o al massimo alla fine del secolo diciottesimo.
[...] (fa la storia ormai ben nota del "margine" ed enuncia la congettura)
Quest’affermazione, ieri soltanto una congettura, oggi viene riconosciuta come Ultimo Teorema di Fermat in seguito alla dimostrazione assai complessa fornita di recente dal matematico inglese A. Wiles.
E’ però a tutti evidente che la dimostrazione di Wiles non è di certo la dimostrazione che aveva in mente il matematico francese del passato.
Come riportato in modo concreto nel titolo, le fonti principali, i metodi, le tecniche e lo stile della dimostrazione contenuta in tale lavoro non possono che fare riferimento al matematico svizzero Leonhard Euler , cui praticamente si devono quasi tutte le dimostrazioni dei teoremi enunciati e mai dimostrati da P. Fermat."

Una versione semplificata di questa dimostrazione è disponibile qui
http://freeweb.supereva.com/eratourania/Fermat_Ossicini.htm#
mentre quella originale (una ventina di pagine) va scaricata da qui:
http://www.matematicaeliberaricerca.com/ma...ica_mia/UTF.ZIP

Sarà anche un 'dilettante', ma sembra di vedute ed interessi alquanto ampi, visto che va in giro per la rete a scrivere sui forum.

Avevo iniziato a leggiucchiare la prsesunta dimostrazione di Ossicini dell'Ultimo Teorema di Fermat ... poi m'è venuto un gran sonno... e ho interrotto la lettura.

Per quanto credevo d'aver capito io, [e ... credo ancora], la dimostrazione dell'U. T. di F. è una costruzione di parecchi ed insigni matematici durata oltre due secoli e mezzo, sulla quale Wiles ha avuto il merito (e la fortuna) soltanto di riuscire a porre il "cappello" per ultimo!
Mi parrebbe molto strano (e, sinceramente, impossibile in pratica) che un ... principiante come Ossicini se ne venga tranquillamente a dismopstrare l'U. T di F. saltando a piè pari i contributi di pezzi da 90, i riferimenti (in questi) ai "numeri di Bernulli", e i più recenti contributi– come la congettura di quell'infelice giovane matematico giapponese suicida negli anni 30... e addirittura con metodi puramente "euclidei"!

Adesso ho fretta. [Sono "scrutatore" in un seggioi! Devo scappare]. Tra poco (o forse .. ad operazioni elettorali concluse) vi segnalerò qiualche mio rilievo "esegetico" su Ossicini (e, se non ho capellato di brutto un errore che ho rinvenuto quasi subito –al punto 9, mi par di ricordare–) ...

Ciao a tutti.

No, Alias!
Guarda che succede col link che gentilmente ci offri:

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The requested URL /histoire/th_fermat/fermat.html) was not found on this server
___________________________________________________________

Apache/1.3.27 Server at folium.eu.org Port 80.

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Veniamo ora al nostro Andrea OSSICINI riadattato da G. Pipino. [probabile discendente di Pipino il Breve, visto che intende ridurre le prolissità di Ossicini].


A) Dopo aver mostrato che:
1) Se è vero –come dimostrato dallo stesso Fermat– che non ci sono soluzioni x, y, z intere dell'equazione (x^4) + (y^4) = (z^4) non ce ne sono nemmeno per (x^n) + (y^n) = (z^n) quando n fosse multiplo di 4; (*)
2) Se non ci sono soluzioni ad (x^n) + (y^n) = (z^n) per n primo dispari non ci sono soluzioni per n multiplo di un primo dispari (**)
giustamente Ossicini dice che basta dimostrare che (x^n) + (y^n) = (z^n) non ha soluzioni per n primo dispari. Sostituito, quindi n con 2n+1 [dove i due n non sono ovviamente la stessa cosa!], ... parte per la tangente in un mare di trasformazioni nelle quali è difficile (e tedioso) seguirlo.

(*) Infatti, se [p, q, r] fosse soluzione di (x^4k)+(y^4k)=(z^4k), la terna intera [a, b, c] =[(p^k), (q^k), (r^k)] sarebbe soluzione di (x^4)+(y^4) = (z^4).
(**) Infatti, se h è un primo dispari e se [p, q, r] fosse soluzione di (x^hk)+(y^hk)=(z^hk), la terna intera [a, b, c] =[(p^k), (q^k), (r^k)] sarebbe soluzione di (x^h)+(y^h) = (z^h).

B) La prima di queste trasformazioni è quella di passare da tre incognite a 6 per trasformare l'equazione di grado 2n+1 (in tre incognite intere x, y e z) in una equazione di 2° grado (in 6 incognite intere x1, x2, x3, x4, x5 e x6). Ed è in questi paraggi che, secondo me, si incontra il primo errore.
Ossicini-Pipino, al "Punto 5", parte con una "ovvietà" che chissà perché crede necessario dimostrare con una inutile e banale seguela di identità tra polinomi di 2° grado:

«
Punto 5.
La potenza x^(2n+1) può essere scritta come differenza di quadrati, ovvero si può porre nella forma:
x^(2n+1) = r^2 – s^2
con
r = (x^n)*[(x+1)/2]; s = (x^n)*[(x-1)/2].
[...]
»
In effetti, sostituendo in r^2 – s^2 l'indeterminata r con (x^n)*[(x+1)/2] e l'indeterminata s con (x^n)*[(x-1)/2] si trova:
r^2 – s^2 = (x^2n)*[(x^2+2x+1)4 – (x^2–2x+1)4] = (x^2n)*x = x^(2n+1).
[A che serve allora la successiva sbrodola?]
Ossicini-Pipino applica in seguito una tale sostituzione ad x^(2n+1), y^(2n+1) e z^(2n+1)
dove [r, s] sono dette rispettivamente [x2, x1], [x5, x3] e [x6, x4]

In effetti, per qualsiasi terna di interi [x, y, z] i 6 numeri x1 ... x6 definiti in quel modo sono interi perché se x è dispari (x+1)/2 è intero e se x è pari è intero (x^n)/2.

Successivamente Ossicini-Pipino opera un'altra trasformazione ponendo:
xj = r*aj + lj (per j = 1, 2, ..., 6).
A questo punto dice:
«
Nel precedente sistema aj (j=1..6) siano gli elementi di una soluzione qualsiasi, anche banale (ovvero tale che qualche aj sia nullo), mentre lj (j=1..6) ed r siano dei parametri da calcolare.
»
Mi domando :
a) "Soluzione di che?"
b) Perché "banale"? "Banale" [trivial in inglese] è detta la "soluzione nulla" di un sistema lineare di m equazioni in m incognite xj (con j = 1, 2, ..., m) omogeneo, cioè con tutti gli m termini noti nulli.
Da questo punto in poi mi è difficile seguire il discorso di Ossicini-Pipino...

Successivamente si trova scritto che supposto di sapere i sei xj, essendoci 6 equazioni in 7 incognite, si può benissimo scegliere l6 del tutto arbitrariamente.
E' qui che mi pare che ci sia il primo errore!
Infatti, supposto pure di avere i sei aj (che invece non è precisato come scegliere), dando arbitrariamente l6 si ottiene sì un sistema lineare di 6 equazioni in 6 incognite. Supponiamo pure che tale sistema sia a coefficienti interi –e quindi che anche l6 sia intero (e allora mica del tutto arbitrario!)– e supponiamo pure che il determinante della matrice dei coefficienti sia diverso da zero (cosa che per ora non si può sapere!). In tale situazione, la soluzione (nelle incognite r, l1 ,,,, l5) è unica e di componenti certamente razionali, ma solo casualmente intere!

Successivamente vengono operate altre trasformazioni di cui resta oscuro lo scopo ...
Mi sorge allora un sospetto:
«Non è, magari che Ossicini-Pipino, tramite queste trasformazioni, si divertono a confondere le idee con mosse speciose che mascherino gli errori come nelle celebri (pseudo)dimostrazioni che " 1 = 2" ?»

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Ho detto la mia. Dite ora la vostra.

Ciao a tutti.

il link andava bene, ma la parentesi in fondo non ci voleva:
http://folium.eu.org/histoire/th_fermat/fermat.html

Su Ossicini, ho trovato anch'io numerose critiche (pare contenga anche un errore algebrico oltre a qualche passaggio incompleto) e dalla difficoltà che ho avuto a reperire in rete la sua dimostrazione penso che l'abbia in qualche modo "ritirata".
Però, visto che ha provato a fare proprio quello che voleva il Gattone, ho pensato bene di segnalarlo.
Questa è una analisi critica, tipo quella che stai facendo tu, di tal Roberto Volpe:
http://www.matematicamente.it/numeri/ultim...di%20fermat.pdf

Non farmi arrossire, Alias! La critica di R. Volpe, per quel che posso capire, è una cosa seria. La mia ... era solo la sensazione che, dal modo di procedere, Ossicini non dovesse essere un VIP della matematica, ma piuttosto un onesto "professore di matematica", uno dei tanti. Volpe, invece, oltre a procedere con sicurezza e con un tono decisamente di alto livello, mi pare uno dei pochi che sanno sintetizzare i molteplici spunti per convergere ottimamente sull'obiettivo.

Grazie, Alias, dei tuoi contributi. Un "grazie" penso che te lo debba anche Met@forum. [Ce ne fossero, in giro per i forum di Met@forum, degli Alias come nel Cubo di Rubik!]

Ciao

Ciao a tutti.

Non ti sembra di essere un po' riduttivo?
Wiles ci ha lavorato su ogni giorno per 30 anni....

No. Se non ricordo male, Wiles ci ha lavorato ininterrottamente (anche per oltre 10 ore al giorno) per un anno, dopo averci lavorato molto per un altro anno e saltuariamente fin da giovane. La prima volta colse di sorpresa i partecipanti ad un congresso matematico per essersi presentato con un titolo che non permetteva di capire dove andava a parare Wiles. Gli attenti, invidiosi e "maligni" ascoltatori si accorsero subito che si trattava proprio di quel "cappello" da mettere sui secoli di storia dell'U. T. di F. ! E allora furono ben lieti di fare le pulci alle tesi di Wiles trovando un "baco" nella sua dimostrazione. Wiles, sicuro d'aver imboccato la strada giusta, temeva di essere anticipato da qualcun altro (magari un tardo "bourbakista"). E' perciò che si buttò a capofitto, giorno e notte, sulla ricerca di come emendare quel "bug", finché non ci riuscì!
Ma ... sai quanti anni–uomo ci hanno lavorato altri matematici? Qualcuno enormemente di più di Wiles.
Verso gli anni 30, l'U. T. di F. era dimostrato per parecchie categorie di numeri interi (diciamo --- per quasi tutti). Ma siccome i naturali sono infiniti, sia quelli per cui era dimostrato sia i residui costituivano una "infinità" equipotente con gli stessi naturali.
Per giunta, tutti gli esperti e gli "addetti" ai lavoroi erano ormai convinti che ... ci mancava poco a chiudere il discorso. Essi avevano concluso che la "congettura di Shimura" (ma ... siccome vado a mente non sono sicuro se il giapponese cui voglio riferirmi sia costui) implicava la tesi di Fermat e che la via per chiudere il discorso era proprio quella di provare quella congettura. Anche la strada per cui provare quella congettura era ormai tracciata (ma ciò non toglie, come nelle scalate dell'Himalaia, che "strada tracciata" sia sinonimo di "strada facilmente percorribile fino in fondo"); tanto che qualche "bourbakista", per restare nella storia come erettore del maggiore pilastro del teorema, tentò di scippare al giapponese (già defunto) la paternità della congettura decenni prima della conclusione di Wiles.
Insomma: Wiles, senza togliergli alcun merito, non avrebbe combinato niente se il terreno non fosse stato dissodato (vangato e rivangato!) ininterrottamente per circa tre secoli da una caterva di matematici tra i quali almeno dieci non certo meno bravi di lui...
Un prof. universitario di matematica che conosco (uno dei pochi massimi "logici" attuali), ebbe a dire, un giorno, che anche in matematica, ormai, ci si si deve affidare all'ipse dixit. E portava ad esempio proprio l'U. T. di F. dove nessuno, tranne pochissimi al mondo, è in grado di controllare se il discorso di Wiles è o non è corretto perché pochissimi possono conoscere tutti i presupposti su cui Wiiles si basa: e i pochi che li conoscono, devono ancora affidarsi all'ipse dixit perché è praticamente impossibile che un uomo possa, in vita, verificare –pur conoscendolo bene– tutto il processo logico che precede e conduce alla prova della tesi di Fermat.
Anch'io ... sto andando proprio a ipse dixit! Siccome stimo molto quel prof. che ho appena menzionato, non mi ci metto nemmeno a tentare di capire come si dimostra l'U. T. di F.
E, sempre per "ipse dixit", mi parrebbe inverosimile che un tal Ossicini in quattro e quattr'otto dimostri la tesi di Fermat per vie ... settecentesche (pur essendo queste di un secolo più avanzate di quelle di cui disponeva Fermat ed enormemente più progredite).
Sono convinto –come i più e, of course, sempre in base al principio "ipse dixit"– che Fermat non ha dimostrato affatto il suo Ultimo Teorema. Fermat era ... un genio "dilettante" ed impulsivo: a volte ha dato "dimostrazioni mirabili" (per esmpio per il grado 4 con la "descente infinie", ma anche in altri campi, come in ottica con la prova che nei mezzi più rifrangenti la luce viaggia a velocità più bassa, smentendo con ciò i grandi Cartesio e Newton, –cosa provata sperimentalmente solo a metà dell'800 da Fizeau e Fresnel–): altre volte è incappato in ... "intemperanze" logiche (come quando credette di aver trovato una successione di infiniti numeri primi: tesi smentita da Eulero solo un secolo più tardi). Ma –ripeto– tutti i miei discorsi sono ... amatoriali e basati su qualche "ipse dixit".

Ciao, Naacal.

Ciao a tutti.