Giorni fa mi ha contattato un amico il cui figlio, che fa la 1ª Liceo Scientifico, aveva qualche difficoltà a svolgere il "compito per casa" asssegnato dalla profe di matematica.

Ecco qui sotto il testo del compito:


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Mi sa che ML e tanti altri han fatto, ai loro tempi, il Liceo Scientifico...
E allora risolvete pure voi il problemino!

Rispetto al ragazzino ... voi siete avvantaggiati: lui non disponeva della figura che voi vedete qui sotto; e la sua difficoltà stava proprio nel costruirsela...


Bye, bye.

e' facile....
ma aspettiamo qualcun altro...

Ben tornato, Carvalho! Era ora!


Facile per noi e ... dopo aver disegnato bene la figura.
Mica tanto per allievi della 1ª superiore [visto anche come sono ora le medie inferiori ...].

Ciao a tutti.

Aoh!? Aspettato abbastanza?
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1) Questo trapezio rettangolo è caratterizzato da:
a)diagonali perpendicolari
b) una diagonale inclinata di 30° [=1/3 di angolo retto] sulle basi.
Lemma: Ogni trapezio rettangolo di questo tipo ha la base maggiore tripla della minore
Prova.
Rifacciamo la figura:
Dalle ipotesi segue che angolo(BAC)=angolo(ACD)= 60°. Essendo angolo(ADC)=90°, segue pure angolo(ADB)=60°. In ogni triangolo rettangolo con un angolo acuto di 30°, l'altro è di 60° e l'ipotenusa è doppia del cateto piccolo e quindi (Pitagora) il cateto grande è sqrt(3) volte il cateto piccolo. Sicché:
(AB = sqrt(3)* AD) e (AD=sqrt(3)*DC) => AB = 3 DC. (*)

2) Occhio: di triangoli rettangoli con un angolo acuto di 30° nella figura ce n'è una barca!
Ricordarsi che in ciascuno (di essi) l'ipotenusa è doppia del cateto piccolo
Per costruzione è: angolo(ADE)=angolo(EDB)= (60°)/2 = 30°. Sicché:
angolo(EDC) = angolo(DCE) = 60°. [E quindi anche angolo(DEC)=60°].
Allora il triangolo CDE è equangolo, quindi equilatero e quindi AE = EC = DC.
Siccome nel triangolo rettangolo AEF abbiamo AF= 2AE e abbiamo appena visto che AE = DC, troviamo AF = 2DC; e siccome –vedi (*)– AB = 3 DC, concludiamo che:
FB = AB – AF = 3DC – 2DC = DC => FB = DC. (**)

3) In conclusione, nel quadrilatero DCBF succede che due lati opposti (EB e DC) sono paralleli ed uguali.
Ma questo è uno dei criteri di riconoscimento dei parallelogrammi. [Se un quadrilatero ha due lati opposti paralleli ed uguali, si dimostra facilmente che anche gli latri due sono paralleli].
Quindi il quadrilatero FBCD è un parallelogramma (come dovevasi dimostrare).

Ciao a tutti.

Io avevo ragionato un poco diversamente.
Come hai detto tu, basta dimostrare che FB=DC.
Ma FB=DE (facilmente dimostrabile ed evidente se si traccia da F la normale a DB)
Poiche' ADB=60˚, sara' EDB=BDC=30˚, quindi il triangolo EDC e' equilatero.
Ne segue che DC=DE=FB
CDD